一元二次方程的解法:轻松掌握,妙趣横生
一元二次方程的标准形式为:ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c为实数,且a不等于0。
一、因式分解法:
因式分解法是比较简单的一种解法,当二次项系数a和常数项c互为相反数时,就可以直接利用这个特性进行因式分解,从而求得方程的解。
例如:x^2 - 4x - 5 = 0
我们可以将其因式分解为:(x - 5)(x + 1) = 0
因此,方程的解为x = 5或x = -1
二、配方法:
配方法是比较常见的一种解法,适用于各种一元二次方程。
1.将方程化为标准形式:ax^2 + bx + c = 0
2.将b/2记为m,则方程化为:a(x + m)^2 + (c - m^2) = 0
3.利用平方差公式:(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
将方程化为:a(x + m)^2 = - (c - m^2)
4.解出x:
x + m = √[-(c - m^2)/a]
x = -m ± √[-(c - m^2)/a]
例如:x^2 + 4x - 5 = 0
配方后化为:(x + 2)^2 = 9
解出x:
x + 2 = 3或x + 2 = -3
x = 1或x = -5
三、韦达定理法:
韦达定理法是一种巧妙的解法,适用于a=1的一元二次方程。
1.将方程化为标准形式:x^2 + bx + c = 0
2.根据韦达定理,可知方程的两个解的和为-b,积为c
3.设方程的两个解为x1和x2,则有:
x1 + x2 = -b
x1 * x2 = c
4.利用这两个式子,可以解出x1和x2
例如:x^2 - 5x + 6 = 0
根据韦达定理,可知方程的两个解的和为5,积为6
设方程的两个解为x1和x2,则有:
x1 + x2 = 5
x1 * x2 = 6
解出x:
x1 = 2,x2 = 3
四、公式法:
公式法是一种比较直接的解法,适用于各种一元二次方程。
1.将方程化为标准形式:ax^2 + bx + c = 0
2.利用一元二次方程的求根公式:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
解出方程的两个解
例如:2x^2 - 3x - 2 = 0
利用求根公式解出x:
x = [(-3) ± √(9 - 4 2 * (-2))] / 2 2
x = (3 ± √17) / 4
因此,方程的解为x = (3 + √17) / 4或x = (3 - √17) / 4
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