二重积分的极坐标表示
极坐标系
在极坐标系中，一个点由其到原点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）来确定。极坐标表示为 (r, θ)，其中 r ≥ 0，0 ≤ θ < 2π。
二重积分的极坐标表示
二重积分的极坐标表示为：
```
∬R f(x, y) dA = ∫∫R f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ
```
其中：
使用二重积分极坐标表示的步骤
1. 将积分区域 R 转换为极坐标表示。
2. 将被积函数 f(x, y) 转换为极坐标表示 f(r cos θ, r sin θ)。
3. 将积分 limits 转换为极坐标表示。
4. 求解二重积分。
示例
求解区域 R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √(1 - x²)} 上函数 f(x, y) = x²y 的二重积分。
解：
1. 积分区域 R 在极坐标系中的表示为：0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ π/2。
2. f(x, y) = x²y = r² cos² θ r sin θ = r³ cos² θ sin θ。
3. 积分 limits 为：0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ π/2。
4. 因此，二重积分的极坐标表示为：
```
∬R x²y dA = ∫0π/2 ∫0^1 r³ cos² θ sin θ r dr dθ
```
求解该积分得到结果：π/16。
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