2013浙江高考数学文科真题详解:文科数学原来可以这么玩!
1. 选择题
(1) 已知函数 $f(x) = x^2-2x+3$,则 $f(2)-f(1)$ 的值为( )。
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
正解: B
解析:代入计算即可:$f(2)-f(1) = (2^2-2\cdot2+3) - (1^2-2\cdot1+3) = 1$
(2) 求证:若 $a+b+c=0$,则 $a^3+b^3+c^3=3abc$。
正解:
令 $x=a+b+c$,则有 $x^3 = (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)$。
由于 $a+b+c=0$,所以 $ab+bc+ca=-(a^2+b^2+c^2)$。
因此,$x^3 = a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)$。
又因为 $x=0$,所以 $x^3=0$。
因此,$a^3+b^3+c^3=3abc$。
(3) 设 $a$、$b$ 为正数,且满足 $a+b=1$,求 $a^2+b^2$ 的最小值。
正解: $\frac{1}{2}$
解析:由 $a+b=1$,可得 $a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab=1-2ab$。
由于 $a$、$b$ 为正数,所以 $ab>0$,因此 $1-2ab<1$。
所以,$a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$,当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时取到。
2. 填空题
(1) 若已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^3-2n^2+3n$,则 $a_5$ 的值为( )。
正解: 17
解析:由 $S_n=n^3-2n^2+3n$,可得 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^3-2n^2+3n)-(n-1)^3-2(n-1)^2+3(n-1)$。
因此,$a_5=5^3-2\cdot5^2+3\cdot5-(4^3-2\cdot4^2+3\cdot4)=17$。
(2) 设函数 $f(x)=kx(x+1)$,其中 $k$ 为常数,且 $f(1)=4$,则 $f(2)$ 的值为( )。
正解: 16
解析:由 $f(1)=4$,可得 $k\cdot1\cdot(1+1)=4$,即 $k=2$。
因此,$f(2)=2\cdot2\cdot(2+1)=16$。
3. 解答题
(1) 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$,$a_{n+1}=2a_n-1$。试求 $a_5$ 的值。
正解: 31
解析:根据递推公式,有 $a_2=2a_1-1=3$,$a_3=2a_2-1=5$,$a_4=2a_3-1=9$,$a_5=2a_4-1=31$。
(2) 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$,在正方形内部有一条直线 $l$,且 $l$ 与 $AB$、$BC$、$CD$ 三边都相交。若直线 $l$ 与 $AB$ 交于点 $E$,与 $BC$ 交于点 $F$,与 $CD$ 交于点 $G$,且 $AE=1$,求 $EG$ 的长度。
正解: $\sqrt{3}$
解析:由于 $AE=1$,所以 $AF=AB-AE=1$。
又因为 $ABCD$ 是正方形,所以 $BC=CD=2$。
因此,$BF=BC-AF=1$。
同理可得 $CG=1$。
由平行线分比例线段定理可得:$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FB}=\frac{AG}{GC}=1$。
因此,$EB=\frac{1}{2}$,$FB=\frac{1}{2}$,$GC=\frac{1}{2}$。
所以,$EG=EB+BF+GC=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}$。
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