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2013浙江高考数学文科真题详解：文科数学原来可以这么玩！

2024-02-29
/ 科技知识
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2013年浙江高考数学文科试题新鲜出炉，广大考生是否已经做完并对答案了呢？现在，就让我们一起来看看这套试题的详细解析吧！
2013浙江高考数学文科真题详解：文科数学原来可以这么玩！

1. 选择题

（1） 已知函数 $f(x) = x^2-2x+3$，则 $f(2)-f(1)$ 的值为（ ）。

A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

正解： B

解析：代入计算即可：$f(2)-f(1) = (2^2-2\cdot2+3) - (1^2-2\cdot1+3) = 1$

（2） 求证：若 $a+b+c=0$，则 $a^3+b^3+c^3=3abc$。

正解：

令 $x=a+b+c$，则有 $x^3 = (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)$。

由于 $a+b+c=0$，所以 $ab+bc+ca=-(a^2+b^2+c^2)$。

因此，$x^3 = a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)$。

又因为 $x=0$，所以 $x^3=0$。

因此，$a^3+b^3+c^3=3abc$。

（3） 设 $a$、$b$ 为正数，且满足 $a+b=1$，求 $a^2+b^2$ 的最小值。

正解： $\frac{1}{2}$

解析：由 $a+b=1$，可得 $a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab=1-2ab$。

由于 $a$、$b$ 为正数，所以 $ab>0$，因此 $1-2ab<1$。

所以，$a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$，当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时取到。

2. 填空题

（1） 若已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^3-2n^2+3n$，则 $a_5$ 的值为（ ）。

正解： 17

解析：由 $S_n=n^3-2n^2+3n$，可得 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^3-2n^2+3n)-(n-1)^3-2(n-1)^2+3(n-1)$。

因此，$a_5=5^3-2\cdot5^2+3\cdot5-(4^3-2\cdot4^2+3\cdot4)=17$。

（2） 设函数 $f(x)=kx(x+1)$，其中 $k$ 为常数，且 $f(1)=4$，则 $f(2)$ 的值为（ ）。

正解： 16

解析：由 $f(1)=4$，可得 $k\cdot1\cdot(1+1)=4$，即 $k=2$。

因此，$f(2)=2\cdot2\cdot(2+1)=16$。

3. 解答题

（1） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-1$。试求 $a_5$ 的值。

正解： 31

解析：根据递推公式，有 $a_2=2a_1-1=3$，$a_3=2a_2-1=5$，$a_4=2a_3-1=9$，$a_5=2a_4-1=31$。

（2） 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，在正方形内部有一条直线 $l$，且 $l$ 与 $AB$、$BC$、$CD$ 三边都相交。若直线 $l$ 与 $AB$ 交于点 $E$，与 $BC$ 交于点 $F$，与 $CD$ 交于点 $G$，且 $AE=1$，求 $EG$ 的长度。

正解： $\sqrt{3}$

解析：由于 $AE=1$，所以 $AF=AB-AE=1$。

又因为 $ABCD$ 是正方形，所以 $BC=CD=2$。

因此，$BF=BC-AF=1$。

同理可得 $CG=1$。

由平行线分比例线段定理可得：$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FB}=\frac{AG}{GC}=1$。

因此，$EB=\frac{1}{2}$，$FB=\frac{1}{2}$，$GC=\frac{1}{2}$。

所以，$EG=EB+BF+GC=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}$。

标签：2013浙江高考数学文科,文科数学,高考真题,数学解析
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