2011年安徽高考数学真题及答案解析，带你领略当年数学风采
一、选择题（1~15题，每题6分）
1. 解析：由正弦定理，得：
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=2R
$$
所以，
$$
\sin A+\sin B+\sin C=3.
$$
2. 解析：由题意可得：
$$
\begin{aligned}
\log_2 (x+y)+\log_2 (x-y) & = 2\\
\log_2 (x^2-y^2) & = 2.
\end{aligned}
$$
所以，
$$
x^2-y^2=4.
$$
3. 解析：设圆的半径为 $r$，则：
$$
\begin{aligned}
S_{圆} &= \pi r^2\\
V_{球} &= \frac{4}{3}\pi r^3
\end{aligned}
$$
所以，
$$
\frac{S_{圆}}{V_{球}}=\frac{\pi r^2}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{3}{4r}.
$$
二、填空题（16~18题，每题6分）
16. 解析：根据二项式定理，
$$
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k.
$$
所以，当 $n=6$ 时，
$$
\binom{6}{2}=15.
$$
17. 解析：由题意可得：
$$
\begin{aligned}
f(x) & = ax^2+bx+c\\
f(-1) & = 0\\
f(2) & = 4.
\end{aligned}
$$
解得：
$$
\begin{aligned}
a & = 1\\
b & = -2\\
c & = 1.
\end{aligned}
$$
所以，
$$
f(x)=x^2-2x+1.
$$
18. 解析：由题意可得：
$$
\begin{aligned}
a_1+a_2+a_3 &= 15\\
a_1^2+a_2^2+a_3^2 &= 55\\
a_1^3+a_2^3+a_3^3 &= 195.
\end{aligned}
$$
根据韦达定理，
$$
\begin{aligned}
a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1 &= 19\\
a_1a_2a_3 &= 25.
\end{aligned}
$$
所以，
$$
a_1^2+a_2^2+a_3^2-3(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1) = 28.
$$
三、解答题（19~24题）
19. 解析：设三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，则根据余弦定理，有：
$$
\begin{aligned}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B\\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C.
\end{aligned}
$$
将三式相加，得：
$$
a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) -2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B).
$$
所以，
$$
ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}.
$$
20. 解析：设正方体棱长为 $a$，则体积为 $V=a^3$。
当正方体沿对角线切割时，得到三个等体积的四棱锥。四棱锥底面为正方形，边长为 $a\sqrt{2}$，高为 $\frac{a\sqrt{3}}{2}$。因此，每个四棱锥的体积为：
$$
V_{四棱锥}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}a^2\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}.
$$
所以，三个四棱锥的总体积为：
$$
3V_{四棱锥}=3\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{12}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.
$$
所以，有：
$$
\frac{V_{原本正方体}}{V_{三个四棱锥}}=\frac{a^3}{\frac{a^3\sqrt{3}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
$$
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