抛物线的标准方程：一个简单的指南
抛物线是一种开口向上的或向下的二次曲线，其方程为：
\(y = ax^2 + bx + c\)
其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)是实数。
\(a\) 控制抛物线的形状。如果 \(a > 0\)，抛物线开口向上；如果 \(a < 0\)，抛物线开口向下。
\(b\) 控制抛物线的位置。如果 \(b > 0\)，抛物线向左移动；如果 \(b < 0\)，抛物线向右移动。
\(c\) 控制抛物线与 \(y\)-轴的交点。
为了找到抛物线的顶点，我们可以使用以下公式：
\((h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)\)
其中，\(D = b^2 - 4ac\) 是判别式。
顶点是抛物线上的最高点或最低点。
现在，让我们通过一些例子来理解抛物线的标准方程。
例子 1：
\(y = x^2 - 2x - 3\)
这是一个开口向上的抛物线，因为 \(a > 0\)。顶点为 \((1, -4)\)，焦点为 \((1, -\frac{11}{4})\)，准线为 \(y = -\frac{7}{4}\)。
例子 2：
\(y = -x^2 + 4x - 5\)
这是一个开口向下的抛物线，因为 \(a < 0\)。顶点为 \((2, 1)\)，焦点为 \((2, \frac{5}{4})\)，准线为 \(y = \frac{9}{4}\)。
例子 3：
\(y = 2x^2 + 3x + 1\)
这是一个开口向上的抛物线，因为 \(a > 0\)。顶点为 \((\frac{-3}{4}, \frac{1}{8})\)，焦点为 \((\frac{-3}{4}, \frac{19}{16})\)，准线为 \(y = -\frac{7}{16}\)。
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