大数定律:小概率事件在大量重复实验中呈现出规律性
一、大数定律的定义
大数定律是概率论中的一个基本定理,描述了当独立同分布随机变量的样本数量足够大时,其样本平均值将以概率1收敛于期望值。也就是说,随着样本数量的增加,样本平均值将越来越接近期望值。
大数定律的基本形式如下:
设\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)是独立同分布的随机变量,期望值均为\(\mu\),方差均为\(\sigma^2\)。则当\(n\)趋于无穷大时,样本平均值
$$\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i$$
将以概率1收敛于期望值\(\mu\),即
$$P\left(\lim\limits_{n\to\infty} \overline{X}_n = \mu\right) = 1$$
二、大数定律的应用
大数定律在许多领域都有应用,例如:
三、大数定律的意义
大数定律是概率论中一个重要的定理,它揭示了小概率事件在大量重复实验中呈现出的规律性。大数定律在许多领域都有应用,例如统计学、金融学和保险学等。
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