2017年高考试题全国卷：理科数学填空篇详解
1. （5分）已知集合A={1，2，3，4，5，6}，从集合A中任取三个数组成一个新的数，要求所得新数能被3整除。求这样的新数有多少个？
解析：要组成能被3整除的新数，三个数中至少有一个是3的倍数。在集合A中，3的倍数有3、6，于是可以分成以下几种情况：
因此，能被3整除的新数共有1 + 3 + 6 = 10个。
2. （6分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，对于任意的实数a，定义g(a) = f(a) + f(a + 1)。求g(a)的最小值。
解析：g(a) = f(a) + f(a + 1) = a^2 - 2a + 1 + (a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1 = 2a^2 + 2a + 2。
令h(a) = 2a^2 + 2a + 2，则h'(a) = 4a + 2，h'(a) = 0得a = -1/2。
由于h(a)是二次函数，且导函数在a = -1/2处为0，因此a = -1/2为h(a)的最小值点，此时h(a) = 2(-1/2)^2 + 2(-1/2) + 2 = 1。
所以，g(a)的最小值为1。
3. （7分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E是BC的中点，且PA = PE。已知AB = 3，AD = 4，求四棱锥P-ABCD的体积。
解析：由于PA⊥平面ABCD，且PA = PE，因此PE⊥BC，即PE⊥平面ABC。
所以，三角形PBC是直角三角形，且PB^2 = PE^2 + EB^2 = PA^2 + AB^2/4 = 13/4。
因此，四棱锥P-ABCD的体积V = 1/3 PA * S底 = 1/3 * PA * AB * AD = 1/3 * √13 * 3 4 = 4√13/3。
4. （8分）已知点A（1，1），B（a，b），C（c，d）形成一个三角形，且△ABC的面积为2。求实数a + c + b + d的值。
解析：根据三角形面积公式，△ABC的面积为：
S = 1/2 * |(x1y2 - x2y1) + (x2y3 - x3y2) + (x3y1 - x1y3)| = 2
其中，(x1, y1) = (1, 1)，(x2, y2) = (a, b)，(x3, y3) = (c, d)。
展开并整理得：
|a - c - b + d| = 4
由于a + c + b + d是非负数，因此a - c - b + d = ±4。
所以，a + c + b + d的值为8或0。
5. （9分）已知函数f(x) = asin(ωx)，其中a，ω为常数，a > 0，ω > 0。若函数f(x)的图像与函数g(x) = |x - 1|的图像交于4个不同的点，求a的取值范围。
解析：函数f(x) = asin(ωx)的图像是一个正弦函数，其振幅为a，周期为2π/ω。
函数g(x) = |x - 1|的图像是一个V形函数，其对称轴为x = 1。
若f(x)和g(x)交于4个不同的点，则这两个函数的图像必须相交于对称轴x = 1左右各两个点。
由于f(x)的图像在x = 0处取最大值a，因此a > 1。
同时，由于f(x)的图像在x = 0处取最小值为-a，因此-a < -1，即a > 2。
所以，a的取值范围为（2，∞）。
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