球冠体积计算公式：轻松掌握，精准无误
球冠是球体的一部分，由两个截平面与球体相交而形成。球冠的体积计算公式可以帮助我们计算出球冠的体积。本文将详细介绍球冠体积计算公式，并附有详细的推导过程和应用举例。
球冠体积计算公式如下：
$$V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$$
其中，V是球冠的体积，r是球的半径，h是球冠的高。
推导过程：
设球冠的上底面圆心为O，下底面圆心为O'，OO'延长线与球心C相交，且OO'与CO垂直。记OO'=h，CO=r，上底面半径为R，下底面半径为r'。
由相似三角形可得：
$$\frac{r'}{r}=\frac{OC}{OO'}=\frac{h}{r}$$
整理得：
$$r'=\frac{rh}{r}=h$$
球冠的体积等于球体减去截去部分的体积。截去部分的体积是一个圆锥的体积，其体积为：
$$V_{截取}=\frac{1}{3}\pi r'^2 h=\frac{1}{3}\pi h^3$$
球冠的体积为：
$$V=V_{球}-V_{截取}=\frac{4}{3}\pi r^3-\frac{1}{3}\pi h^3$$
整理得：
$$V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$$
应用举例：
已知一个球的半径为10厘米，球冠的高为5厘米，求球冠的体积。
代入公式可得：
$$V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)=\frac{1}{3}\pi (5^2)(3(10)-5)$$
$$=\frac{1}{3}\pi (25)(25)=2120.57\text{立方厘米}$$
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