玉梯横陈:动态规划算法中的经典问题
玉梯横陈问题的定义是这样的:
给定一个由n级台阶组成的楼梯,每次你可以向上迈1级或2级台阶。问一共有多少种方法可以从楼梯底端到达顶端?
乍一看,这个问题似乎很简单。但当你仔细思考时,就会发现其中隐藏着一些规律。
动态规划解法
动态规划是一种自底向上的求解方法,非常适合解决这类有重叠子问题的场景。
我们定义一个状态dp[i],表示到达第i级台阶的方法数。显然,dp[1] = 1,dp[2] = 2。对于第i级台阶(i > 2),我们可以通过以下两种途径到达:
1. 从第i-1级台阶走一步
2. 从第i-2级台阶走两步
因此,我们有如下递推公式:
```
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
```
根据这个公式,我们可以依次求出dp[3]、dp[4]、...,直到dp[n],最终得到从楼梯底端到达顶端的不同方法数。
示例
假设楼梯有5级台阶,则递推过程如下:
所以,共有8种方法可以从楼梯底端走到顶端。
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