2009高中数学联赛:脑洞大开的试题,笑中带泪的回忆
还记得那道著名的“抛物线”题吗?
试题:一只猴子在离树干6米的地方抓住一根绳子荡秋千,绳子长5米,试问猴子荡到最高点时离树干最远距离是多少?
乍一看,这题似乎不难,只要套用抛物线方程即可。但仔细一想,题目并没有给出猴子荡到最高点的高度,凭空求解存在一定难度。
然而,聪明的数学家们早就料到了这点,给出了一个巧妙的提示:当猴子荡到两端时,绳子与树干垂直。
至此,问题迎刃而解。根据勾股定理,我们可得x²=6²+5²-2×6×5×cos90°=25。所以,猴子荡到最高点时离树干最远距离为5米。
除了“抛物线”题,还有一道“圆锥”题也让人印象深刻。
试题:一圆锥的底面半径为3,高为4,求这个圆锥的侧面积。
这题看似简单,但陷阱暗藏其中。因为题目没有给出圆锥的展开图,也没有给出母线长。如果直接套用公式,很可能会掉进陷阱。
这时,我们需要发挥想象力,利用圆锥的性质来求解。我们可以想象一个底面半径为3的圆,在其上方还有一点P,且点P到圆心的距离为4。用直线连接圆周上的点和点P,就形成了无数个三角形。这些三角形的底边长都是3,高都是4。因此,圆锥的侧面积等于这些三角形面积的总和,即:
侧面积=1/2×3×4×2π×3=36π平方米。
这些试题虽然脑洞大开,但解题思路却并不晦涩难懂。它们启发我们不仅要掌握数学知识,更要学会灵活思考,勇于探索。
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